(本小题满分14分)设函数f(x)＝x2＋px＋q,p、q∈R,满足f(1)＝0,f(0)≥3,f(-1)≤8,如果数列

(本小题满分14分)设函数f(x)＝x2＋px＋q,p、q∈R,满足f(1)＝0,f(0)≥3,f(-1)≤8,如果数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－3
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）无穷等比数列{bn}的首项为b1＝2,且所有项的和为4,记Cn＝an·bn,问是否存在自然数N,使得在数列{Cn}中CN项以后的所有项都小于CN,若存在,求出N的最小值；若不存在,说明理由.
不眠夜 2022-04-06 悬赏金币 已收到1个回答
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lostwinds656

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f(x)＝x2＋px＋q,p、q∈R,
满足f(1)＝0,1+p+q=0.-p=1+q
f(0)≥3,q≥3
f(-1)≤8,1-p+q≤8, 1+q≤4,q≤3
故q=3,p=-4
f(x)=x^2-4x+3
Sn＝f(n)－3
当n=1时,a1=f(1)-3=-3
当n≥2时,S(n-1)=f(n-1)-3
所以an=Sn-S(n-1)=f(n)-f(n-1)=2n-5
综上：an=2n-5
(2)无穷等比数列{bn}的首项为b1＝2,且所有项的和为4,
则b1/(1-q)=4,q=1/2(这个q是{bn}的公比,非(1)中的q)
bn=2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-2)
Cn=(2n-5)*(1/2)^(n-2)
Cn/C(n+1)=(4n-5)/(2n-3)
令Cn/C(n+1)=(4n-5)/(2n-3)>1,
可知当n≥2时,上式恒成立.
当n=1时,C1=a1*b1=-6,C2=a2*b2=-1,C2>C1
故存在N=2,使得在数列{Cn}中CN项以后的所有项都小于CN,
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